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矩阵的幂怎么求?

2023-10-20 03:00:36

有求幂公式:A^n=Q^(-1)*(Λ)^n*Q,而对角阵求n次方,只需要每个对角元素变为n次方即可,这样就可以快速求出二阶矩阵A的的高次幂。

rank(A)=1 的矩阵,且能够分解为列向量乘行向量的形式,可对角化的矩阵,需要对角化矩阵,利用凯莱哈密顿定理分析出矩阵的性质,将矩阵幂乘转化为矩阵乘法(计算量小于对角化)利用约当标准型中零幂矩阵的性质,任意一个方阵不一定能对角化,但总相似于约当标准型。约当标准型中的约当块满足零幂性质。

矩阵的幂算法

如果你所要求的是一般矩阵的高次幂的话,是没有捷径可走的,只能够一个个去乘出来,至于低次幂,如果能够相似对角化,即:存在简便算法的话,在二阶矩阵的情况下简便算法未必有直接乘来得快,所以推荐直接乘。

如果你要求的是能够相似对角化的矩阵的高次幂的话,是存在简便算法的,设要求矩阵A的n次幂,且A=Q^(-1)*Λ*Q,其中Q为可逆阵,Λ为对角阵,即:A可以相似对角化。那么此时,有求幂公式:A^n=Q^(-1)*(Λ)^n*Q,而对角阵求n次方,只需要每个对角元素变为n次方即可,这样就可以快速求出二阶矩阵A的的高次幂。

数学中的“幂”,是“幂”这个字面意思的引申,“幂”原指盖东西布巾,数学中“幂”是乘方的结果,而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的,在现实中盖头巾又有升级的意思,所以把乘方叫作幂正好契合了数学中指数级数快速增长含义,形式上也很契合,所以叫作幂。

矩阵的介绍

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法,这是一个几个世纪以来的课题,是一个不断扩大的研究领域。矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。针对特定矩阵结构(如稀疏矩阵和近角矩阵)定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。

矩阵分解

三角分解法是将原正方矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵,这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程,求逆矩阵,和求解联立方程组。

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